【題目】已知橢圓
的離心率為
，短軸長為4.
（1）求橢圓C的標準方程.
（2）設直線l過點（2,0）且與橢圓C相交于不同的兩點A、B，直線
與x軸交于點D,E是直線上異于D的任意一點，當
時，直線BE是否恒過x軸上的定點？若過，求出定點坐標，若不過，請說明理由。
【答案】（1）
（2）直線BE恒過x軸上的定點
，詳見解析
【解析】
（1）利用離心率
，短軸長4，列關于
的方程組，解方程即可求得橢圓C的標準方程。
（2）當斜率不存在時，可得直線BE過定點，當斜率存在時，
，設出
的坐標，求出直線BE的方程，求出與x軸的交點表達式
，即證
,
根據的特點，將直線l和橢圓聯立，得到
，代入，可得式子成立，即證明直線BE恒過x軸上的定點。
解：（1）由題意得
。解得
，
所以橢圓C的標準方程為
（2）直線BE恒過x軸上的定點
證明如下：
因為.所以
，
因為直線l過點
①當直線l的斜率不存在時，則直線l的方程為
，
不妨設
則
此時，直線BE的方程為
，
所以直線BE過定點；
②直線l的斜率存在且不為零時，設直線l的方程為
，
，所以
.
直線
，令
，得
即
，又
所以
即證
即證
聯立
,消x得
，
因為點在C內，所以直線l與C恒有兩個交點，
由韋達定理得，
代入（*）中得
所以直線BE過定點，
綜上所述，直線BE恒過x軸上的定點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是正方形，且
，平面
平面，
，點
為線段
的中點，點
是線段
上的一個動點．
（Ⅰ）求證：平面
平面
；
（Ⅱ）設二面角
的平面角為
，試判斷在線段上是否存在這樣的點，使得
，若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某冰糖橙，甜橙的一種，云南著名特產，以味甜皮薄著稱。該橙按照等級可分為四類：珍品、特級、優級和一級（每箱5kg）.某采購商打算采購一批橙子銷往省外，并從采購的這批橙子中隨機抽取100箱，利用橙子的等級分類標準得到的數據如下表：
等級 | 珍品 | 特級 | 優級 | 一級 |
箱數 | 40 | 30 | 10 | 20 |
售價（元/kg） | 36 | 30 | 24 | 18 |
（1）試計算樣本中的100箱不同等級橙子的平均價格；
（2）按照分層抽樣的方法，從這100個樣本中抽取10箱，試計算各等級抽到的箱數；
（3）若在（2）抽取的特級品和一級品的箱子上均編上號放在一起再從中抽取2箱，求抽取的2箱中兩種等級均有的概率
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線
：
，（
為參數），將曲線上的所有點的橫坐標縮短為原來的
，縱坐標縮短為原來的
后得到曲線
，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為
。
（1）求曲線的極坐標方程和直線l的直角坐標方程；
（2）設直線l與曲線交于不同的兩點A，B，點M為拋物線
的焦點，求
的值。
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【題目】“大眾創業，萬眾創新”是李克強總理在本屆政府工作報告中向全國人民發出的口號．某生產企業積極響應號召，大力研發新產品，為了對新研發的一批產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到一組銷售數據
（
=1,2，…，6），如表所示：
試銷單價 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
產品銷量 | q | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
已知
．
（Ⅰ）求出
的值；
（Ⅱ）已知變量
具有線性相關關系，求產品銷量
（件）關于試銷單價
（元）的線性回歸方程
；
（參考公式：線性回歸方程中
，
的最小二乘估計分別為
,
)
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列說法正確的是（ ）
A. 設
是實數，若方程
表示雙曲線，則
.
B. “
為真命題”是“
為真命題”的充分不必要條件.
C. 命題“
，使得
”的否定是：“
，
”.
D. 命題“若
為
的極值點，則
”的逆命題是真命題.
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【題目】△ABC的內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c．
（Ⅰ）若a，b，c成等差數列，證明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比數列，求cosB的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，橢圓C：
(a＞b＞0)的離心率為
，其左焦點到點P(2，1)的距離為
．不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ) 求
ABP的面積取最大時直線l的方程．
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