Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率等于，它的一個(gè)短軸端點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)

（1）求橢圓的方程；

（2）已知、是橢圓上的兩點(diǎn)， ， 是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn).①若直線的斜率為，求四邊形面積的最大值；

②當(dāng)， 運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足,試問(wèn)直線的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析: (1)由橢圓的離心率及短軸端點(diǎn)坐標(biāo)求出 ,得到橢圓方程; (2)①設(shè) 設(shè)直線AB方程為 ，聯(lián)立直線與橢圓方程,消去 ,得到一個(gè)關(guān)于 的二次方程,求出 ,再求出 ,代入三角形面積公式,求出最大值; ②由 得到直線斜率之和為0，設(shè)直線 斜率為 ,則直線斜率為,直線 方程為,代入橢圓方程中,求出 的表達(dá)式,同理求出的表達(dá)式,再求出 的值,代入直線的斜率計(jì)算公式中,結(jié)果為定值.

試題解析:（1） ∴

∴ 又

∴ ∴ 橢圓方程為

（2）①設(shè) ，

設(shè)方程 代入化簡(jiǎn)

，

又、

當(dāng)時(shí)， 最大為

②當(dāng)時(shí)， 、斜率之和為.

設(shè)斜率為，則斜率為

設(shè)方程

代入化簡(jiǎn)

同理

，

∴

直線的斜率為定值

點(diǎn)睛:本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì),直線與橢圓相交問(wèn)題,一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系,斜率的計(jì)算公式,考查了推理與計(jì)算能力, 屬于難題.