Question

將y=sin(2x+

π

3

)的圖象向右平移

π

6

個單位長度后，再使平移后的圖象縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數y=f（x）的圖象，將方程xf（x）=1的所有正根按從小到大排成一個數列{a_n}，在以下結論中：
①a_2k+2-a_2k＞2π（k∈N^*）；      ②

lim

n→∞

(an+1-an)=π；
③a_2k-1+a_2k＞（4k-3）π（k∈N^*）； ④a_2k+a_2k+1＞（4k-1）π（k∈N^*）
正確結論的個數有（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：項根據的三角函數的圖象變換求出f（x）的解析式，然后將方程xf（x）=1的所有正根轉化成y=f（x）與y=

1

x

的圖象在第一象限的交點橫坐標，然后畫出兩函數的圖形，結合圖形可判定選項的真假．

解答：解：將y=sin(2x+

π

3

)的圖象向右平移

π

6

個單位長度后，
得到圖象的解析式為y=sin[2(x-

π

6

)+

π

3

]=sin2x，
再使平移后的圖象縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍，得到y=f（x）=sinx，
方程xf（x）=1的所有正根即為y=f（x）與y=

1

x

的圖象在第一象限的交點橫坐標
畫出圖形如下圖

觀察圖形可知
①a_2k+2-a_2k＞2π（k∈N^*）正確；     ②

lim

n→∞

(an+1-an)=π，正確；
③a_2k-1+a_2k＞（4k-3）π（k∈N^*）正確； ④a_2k+a_2k+1＞（4k-1）π（k∈N^*），當k=1時，不成立
故選C．

點評：本題主要考查了函數與方程，以及數列與函數的綜合，同時考查了數形結合的思想，屬于中檔題．