Question

已知向量

α

=(

3

sinωx，cosωx），

β

=(cosωx，cosωx)，記函數f（x）=

α

•

β

，已知f（x）的周期為π．
（1）求正數ω之值；
（2）當x表示△ABC的內角B的度數，且△ABC三內角A、B、C滿sin²B=sinA•sinC，試求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由題設條件

α

=(

3

sinωx，cosωx），

β

=(cosωx，cosωx)，記函數f（x）=

α

•

β

，得到f(x)=

3?

sinωxcosωx+cos 2ωx，進行恒等變形，得到f（x）=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

，再由函數的周期公式求出正數ω之值；
（2）且△ABC三內角A、B、C滿sin²B=sinA•sinC，得出b²=ac，結合余弦定理求出cosB的取值范圍，即得函數的定義域，再求f（x）的值域

解答：解：（1）f(x)=

3

sinωxcosωx+cos 2ωx=

3

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

，
因為T=π=

2π

2ω

得ω=1．
（2）由（1）得f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

，由sin²B=sinA•sinC得b²=ac
又b²=a²+c²-2accosB，∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，∴0＜B≤

π

3

，即o＜x≤

π

3

，∴

π

6

＜2x+

π

6

≤

5π

6

，∴f(x)∈[1，

3

2

]．

點評：本題考查余弦定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握三角恒等變換公式以及三角函數周期公式，余弦定理，本題是三角函數在高考中的經典題型，綜合考查了三角函數中的多個知識點，綜合性強，考查了恒等變形的能力，轉化的能力，及計算能力