Question

已知向量

p

=（-cos 2x，a），

q

=（a，2-

3

sin 2x），函數f（x）=

p

•

q

-5（a＞0）．
（1）求函數f（x）（x∈R）的值域；
（2）當a=2時，求函數y=f（x）在[0，π]上單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）根據向量數量積的坐標公式，得到f（x）的含有參數a的三角函數表達式，再用輔助角公式合并，即可根據正弦函數的圖象與性質得到函數f（x）（x∈R）的值域；
（2）a=2時，f(x)=-4sin(2x+

π

6

)-1．由正弦函數的單調區間的結論列式，可得到函數f（x）的含周期的單調增區間，再結合x∈[0，π]，取交集可得函數y=f（x）在[0，π]上單調遞增區間．

解答：解：（1）f（x）=

p

•

q

-5=-acos2x-

3

asin2x+2a-5=-2asin(2x+

π

6

)+2a-5．…（3分）
因為x∈R，所以-1≤sin(2x+

π

6

)≤1
因為a＞0，所以-2a×1+2a-5≤f（x）≤-2a×（-1）+2a-5．
故f（x）的值域為[-5，4a-5]．…（6分）
（2）a=2時，f(x)=-4sin(2x+

π

6

)-1，…（8分）
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z．…（10分）
因為x∈[0，π]，所以取k=0，得

π

6

≤x≤

2π

3

∴函數y=f（x）在[0，π]上的單調遞增區間為[

π

6

，

2π

3

]．…（12分）

點評：本題給出向量的數量積的一個函數，求函數的單調區間與值域．著重考查了平面向量數量積的坐標公式、三角恒等化簡和輔助角公式等知識，屬于中檔題．