Question

設數列{a_n}，{b_n}滿足a₁=b₁=6，a₂=b₂=4，a₃=b₃=3，若{a_n+1-a_n}是等差數列，{b_n+1-b_n}是等比數列．
（1）分別求出數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求數列{a_n}中最小項及最小項的值．

Answer 1

分析：（1）利用已知，可求出{a_n+1-a_n}的首項與公差，{b_n+1-b_n}的首項與公比，代入等差和等比數列的通項公式，即可求出a_n+1-a_n與b_n+1-b_n的表達式，再利用疊加法轉化為等差或等比數列求和，從而求出a_n與b_n；
（2）利用配方法求a_n的最小值．

解答：解：（1）a₂-a₁=-2，a₃-a₂=-1由{a_n+1-a_n}成等差數列知其公差為1，故a_n+1-a_n=-2+（n-1）•1=n-3；
b₂-b₁=-2，b₃-b₂=-1，
由{b_n+1-b_n}等比數列知，其公比為

1

2

，故bn+1-bn=-2•(

1

2

)n-1，（6分）
a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+（a_n-2-a_n-3）+…+（a₂-a₁）+a₁
=(n-1)•(-2)+

(n-1)(n-2)

2

•1+6=

n2-3n+2

2

-2n+8=

n2-7n+18

2

，（8分）
b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+（b_n-2-b_n-3）+…+（b₂-b₁）+b₁=

-2[1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

+6=2+2^3-n．
（2）∵a_n=

n2-7n+18

2

=

1

2

（n-

7

2

）²+

23

8

，
∴n=3或n=4時，a_n取到最小值，a₃=a₄=3．

點評：本題主要考查了二次函數求最值，等差和等比數列的通項公式等知識，同時考查了分析，推理的能力及運算能力，解題過程中充分運用了疊加法．