Question

已知雙曲線的中心在原點O，右焦點為F（c，0），P是雙曲線右支上一點，且△OEP的面積為
（Ⅰ）若點P的坐標為，求此雙曲線的離心率；
（Ⅱ）若，當取得最小值時，求此雙曲線的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）、設所求的雙曲線的方程為，再由題設條件求出a和c，從而求出此雙曲線的離心率．
（2）、設所求的雙曲線的方程為，則再利用均值不等式求當取得最小值時此雙曲線的方程．
解答：解：（Ⅰ）設所求的雙曲線的方程為，
由
∴b²=c²-a²=2-a²．
由點在雙曲線上，
∴，
∴離心率
（Ⅱ）設所求的雙曲線的方程為，
則
∵△OFP的面積為
∵
解得∵，
當且僅當時等號成立．
此時
（舍）．
則所求雙曲線的方程為．
點評：本題是雙曲線的綜合題，難度較大．重點考查雙曲線的性質和待定系數法的應用，解題時要注意均值不等式的靈活應用．