Question

是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝x²＋(3a－2)x＋a－1在區(qū)間[－1,3]上恒有一個(gè)零點(diǎn)，且只有一個(gè)零點(diǎn)？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

a的取值范圍為a>1或a<－

解：令f(x)＝0，則Δ＝(3a－2)²－4(a－1)＝9a²－16a＋8＝9(a－)²＋>0，即f(x)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴若實(shí)數(shù)a滿足條件，則只需f(－1)·f(3)≤0即可．
f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，
∴a≤－或a≥1．
檢驗(yàn)：(1)當(dāng)f(－1)＝0時(shí)，a＝1，所以f(x)＝x²＋x．
令f(x)＝0，即x²＋x＝0，得x＝0或x＝－1．
方程在[－1,3]上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不合題意，故a≠1．
當(dāng)f(3)＝0時(shí)，a＝－，
此時(shí)f(x)＝x²－x－．
令f(x)＝0，即x²－x－＝0，
解得x＝－或x＝3．
方程在[－1,3]上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不合題意，故a≠－．
所以a的取值范圍為a>1或a<－．