Question

【題目】2017年春晚過后，為了研究演員上春晚次數與受關注度的關系，某網站對其中一位經常上春晚的演員上春晚次數與受關注度進行了統計，得到如下數據：

上春晚次數x（單位：次）	2	4	6	8	10
粉絲數量y（單位：萬人）	10	20	40	80	100

（1）若該演員的粉絲數量g（x）≤g（1）=0與上春晚次數x滿足線性回歸方程，試求回歸方程 = x+ ，并就此分析，該演員上春晚12次時的粉絲數量；
（2）若用 （i=1，2，3，4，5）表示統計數據時粉絲的“即時均值”（四舍五入，精確到整數），從這5個“即時均值”中任選2數，記所選的2數之和為隨機變量η，求η的分布列與數學期望． 參考公式： = ， = ﹣ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知，

計算 = ×（2+4+6+8+10）=6，

= ×（10+20+40+80+100）=50；

回歸系數為

= = =12，

= ﹣ =50﹣12×6=﹣22，

∴回歸方程為 =12x﹣22；

當x=12時， =12×12﹣22=122，

所以該演員上春晚12次時的粉絲數約為122萬人

（2）解：經計算可知，這五個“即時均值”分別為：5、5、7、10、10，

∴η的可能取值有10、12、15、17、20；

計算P（η=10）= ，P（η=12）= ，

P（η=15）= ，P（η=17）= ，

P（η=20）= ；

∴η的分布列為：

η	10	12	15	17	20
P

∴數學期望為E（η）=10× +12× +15× +17× +20× =

【解析】（1）由題意，計算 、 ，求出回歸系數，寫出回歸方程，計算x=12時 的方程即可；（2）經計算可知這五個“即時均值”分別為：5、5、7、10、10， 得出η的可能取值，計算對應的概率值，寫出η的分布列，計算數學期望值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用離散型隨機變量及其分布列的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．