Question

【題目】已知函數f（x）=ln（1+x）﹣x﹣ax2 ， a∈R． （Ⅰ）若函數f（x）在區間 上有單調遞增區間，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）證明不等式： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題知f（x）的定義域為（﹣1，+∞）， ，
當a=0時， 在 上恒成立，即 為函數f（x）的單調遞增區間，滿足條件；
當a≠0時，由f′（x）=0，得x=0，或 ．
若a＞0， ，由f′（x）＞0，得﹣1＜x＜0，即f（x）在（﹣1，0）上單調遞增，顯然， 為函數f（x）的單調遞增區間；
若a＜0，要使函數f（x）在 上有單調遞增區間，則f′（x）＞0的解集與 有公共區間，即 ，﹣1＜a＜0．
綜上所述，若函數f（x）在區間 上有單調遞增區間，則實數a的取值范圍為（﹣1，+∞）；
證明：（Ⅱ）a=1時，在（0，+∞）上，f′（x）＜0恒成立，即函數f（x）在區間（0，+∞）上單調遞減，
∴x∈（0，+∞）時，f（x）＜f（0）=0恒成立，
即 ln（1+x）﹣x﹣x2＜0，
即ln（1+x）＜x+x2在區間（0，+∞）上恒成立，
取x=n，n∈N* ， 則0＜ln（1+n）＜n+n2 ，
即 ，
即 ，
∴ ， ， ，…， ， ．
∴ ，
即 ．
【解析】（Ⅰ）由題知f（x）的定義域為（﹣1，+∞），求出函數的導函數，可得當a=0時，f′（x）＞0在 上恒成立；當a≠0時，求出導函數的兩個零點，分a＞0和a＜0討論求得使函數f（x）在 上有單調遞增區間的a的范圍；（Ⅱ）取a=1，可知在（0，+∞）上，f′（x）＜0恒成立，即函數f（x）在區間（0，+∞）上單調遞減，由此得到ln（1+x）＜x+x2在區間（0，+∞）上恒成立， 取x=n，n∈N* ， 則0＜ln（1+n）＜n+n2 ， 得 = ，分別取n=1，2，3，…，n，利用累加法證明 ．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．