Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為1．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線l過點(diǎn)P（0，2）且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設(shè)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意可知b=c，根據(jù)準(zhǔn)線方程求得c和a的關(guān)系，進(jìn)而求得a，b和c，則橢圓方程可得．
（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程和A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，根據(jù)判別式大于0求得k的范圍，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂，x₁x₂的表達(dá)式，表示出|AB|，求得原點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而表示出三角形的面積，兩邊平方根據(jù)一元二次方程，建立關(guān)于S的不等式，求得S的最大值，進(jìn)而求得k，則直線方程可得．

解答：解：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞c)
（Ⅰ）由已知得

b=c 2a2 c =1 a2=b2+c2

?

a= 2 4 b=c= 1 4

，
∴所求橢圓方程為8x²+16y²=1．
（Ⅱ）由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+2 8x2+16y2=1

，消去y得關(guān)于x的方程：
（1+2k²）x²+8kx+6=0
由直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，
∴△＞0?64k²-24（1+2k²）＞0
解得k2＞

3

2

又由韋達(dá)定理得

x1+x2=- 8k 1+2k2 x1•x2= 6 1+2k2

∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

1+2k2

16k2-24

原點(diǎn)O到直線l的距離d=

2

1+k2

∵S△AOB=

1

2

|AB|•d=

16k2-24

1+2k2

=

2 2 2k2-3

1+2k2

．
對(duì)S=

16k2-24

1+2k2

兩邊平方整理得：4S²k⁴+4（S²-4）k²+S²+24=0（*）
∵S≠0，

16(S2-4)2-4×4S2(S2+24)≥0 4-S2 S2 ＞0 S2+24 4S2 ＞0

整理得：S2≤

1

2

又S＞0，∴0＜S≤

2

2

從而S_△AOB的最大值為S=

2

2

，
此時(shí)代入方程（*）得4k⁴-28k²+49=0∴k=±

254

2

所以，所求直線方程為：±

254

x-2y+4=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓與直線的關(guān)系．考查了學(xué)生分析問題和基本運(yùn)算的能力．