Question

【題目】對(duì)每一個(gè)實(shí)數(shù)a，將拋物線記為。

（1）求所有的交集；

（2）求所有的焦點(diǎn)的軌跡方程;

（3）求所有的直線l，使其與所有的都有公共點(diǎn);

（4）求所有的a，使得存在一條以y軸為對(duì)稱軸且過點(diǎn)的開口向下的拋物線與相切。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析；（4）

【解析】

（1）設(shè)

則

即.

此方程只有一個(gè)解，

從而.

所以交集為點(diǎn).

（2）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，而焦點(diǎn)在頂點(diǎn)的正上方,且距離為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為

消去a得.

故所有的的焦點(diǎn)的軌跡方程是.

（3）首先，直線 (t為任意實(shí)數(shù))符合要求.

下面考慮與x軸不垂直的直線 (k、b為待定的常數(shù))，則得方程，即.

令其判別式得 ①

因?yàn)槭舰賹?duì)每一個(gè)實(shí)數(shù)a都成立，則其判別式.解得.

綜上，所求的直線為（t為任意實(shí)數(shù)）和,其中.

(4)易知，過點(diǎn)、以y軸為對(duì)稱軸、開口向下的拋物線方程為.

由于此拋物線與相切，所以，.

即有唯一的實(shí)數(shù)解x.

從而，，即.

所以，.

由于，，故，即.