Question

【題目】已知函數.

（1）當時,討論函數的單調性；

（2）當時,若不等式在時恒成立,求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞增，在上單調遞減；（2）.

【解析】

（1）求出，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2）當時，不等式在時恒成立,等價于在(1，+∞)上恒成立，令，先證明當時，不合題意，再分兩種情況討論即可篩選出符合題意的實數的取值范圍.

（1）由題意，知,

∵當a<0，x>0時，有.

∴x>1時，；當0<x<1時，.

∴函數f(x)在(0，1)上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減.

（2）由題意，當a=1時，不等式在x∈(1，+∞)時恒成立.

整理，得在(1，+∞)上恒成立.

令.

易知，當b≤0時，，不合題意.

∴b>0

又，.

①當b≥時，.又在[1，+∞)上單調遞減.

∴在[1，+∞)上恒成立，則h(x)在[1，+∞)上單調遞減.

所以,符合題意；

②時，,,

又在[1，+∞)上單調遞減,

∴存在唯一x0∈(1，+∞)，使得.

∴當h(x)在(1，x0)上單調遞增，在(x0，+∞)上單調遞減.

又h(x)在x=1處連續，h(1)=0，∴h(x)>0在(1，x0)上恒成立，不合題意.

綜上所述，實數b的取值范圍為[，+∞ ).