Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)在處的切線方程；

（2）若方程在區(qū)間上有實(shí)根，求的值；

（3）若不等式對任意正實(shí)數(shù)恒成立，求正整數(shù)的取值集合.

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）.

【解析】

（1）由的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出的值，可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）令，方程有實(shí)根等價(jià)于有零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可判斷在和上分別存在一個(gè)零點(diǎn)，從而可得結(jié)果；

（3）當(dāng)時(shí)，不等式成立恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式化為，可得，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，可得，結(jié)合（2）結(jié)合三種情況，從而可得結(jié)果.

（1）

又因?yàn)?/span>，所以切線方程為

（2）記，方程有實(shí)根等價(jià)于有零點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

可知為極小值，又因?yàn)?/span>

所以，在上存在一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)

又因?yàn)?/span>，

所以，在上存在一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)

綜上，或

（3）不等式對任意正實(shí)數(shù)恒成立，

即，恒成立，

當(dāng)時(shí)，上式顯然成立，此時(shí)

當(dāng)時(shí)，上式化為，令，

則，由（2）可知，函數(shù)在上單減，且存在一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，即，

當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，

所以有極大值即最大值，于是

當(dāng)時(shí)，不等式化為，同理可得

綜上可知，，又因?yàn)?/span>，

所以正整數(shù)的取值集合為.