Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ， a1=10，an+1=9Sn+10．
（1）求證：{lgan}是等差數列；
（2）設 對所有的n∈N*都成立的最大正整數m的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：依題意， ，

當n≥2時，an=9Sn﹣1+10①又an+1=9Sn+10②

②﹣①整理得： 為等比數列，

且an=a1qn﹣1=10n，∴lgan=n∴lgan+1﹣lgan=（n+1）﹣n=1，

即{lgan}n∈N*是等差數列．

（2）解：由（1）知，

= ∴ ，

依題意有 ，

故所求最大正整數m的值為5．

【解析】（1）依題意可求得a2的值，進而求得 的值，進而看當n≥2時，根據an=Sn﹣Sn﹣1求得 判斷出數列為等比數列，進而根據等比數列的性質求得an ， 進而分別表示出lgan和lgan+1 ， 根據lgan+1﹣lgan=1，判斷出lgan}n∈N*是等差數列．（2）根據（1）中求得an利用裂項法求得Tn ， 進而根據3﹣ ≥ ，進而根據 求得m的范圍．判斷出m的最大正整數．
【考點精析】利用等差關系的確定和數列的前n項和對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．