Question

某校高三2班有48名學生進行了一場投籃測試，其中男生28人，女生20人．為了了解其投籃成績，甲、乙兩人分別對全班的學生進行編號（1~48號），并以不同的方法進行數據抽樣，其中一人用的是系統抽樣，另一人用的是分層抽樣．若此次投籃考試的成績大于或等于80分視為優秀，小于80分視為不優秀，以下是甲、乙兩人分別抽取的樣本數據：
                                                               
（Ⅰ）從甲抽取的樣本數據中任取兩名同學的投籃成績，記“抽到投籃成績優秀”的人數為X，求X的分布列和數學期望；
（Ⅱ）請你根據乙抽取的樣本數據完成下列2×2列聯表，判斷是否有95%以上的把握認為投籃成績和性別有關？

（Ⅲ）判斷甲、乙各用何種抽樣方法，并根據（Ⅱ）的結論判斷哪種抽樣方法更優？說明理由.
下面的臨界值表供參考：

	0.15	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

（參考公式：，其中）

Answer 1

（Ⅰ）的分布列為
                                   
．
（Ⅱ）列聯表：

	優秀	非優秀	合計
男	6	1	7
女	1	4	5
合計	7	5	12

有95%以上的把握認為投籃成績與性別有關． 
（Ⅲ）甲用的是系統抽樣，乙用的是分層抽樣．投籃成績與性別有關，并且從樣本數據能看出投籃成績與性別有明顯差異，因此采用分層抽樣方法比系統抽樣方法更優．

試題分析：（Ⅰ）由“抽到投籃成績優秀”的人數為X，其所有可能取值為．
計算可得相應概率，得到的分布列為
 
計算得到數學期望．
（Ⅱ）由乙抽取的樣本數據，得到列聯表，應用“卡方公式”計算“卡方”并與臨界值表對照，得出結論.
（Ⅲ）對照系統抽樣、分層抽樣的定義．確定抽樣方法，由（Ⅱ）的結論，并且從樣本數據能看出投籃成績與性別有明顯差異，得到結論.
試題解析：（Ⅰ）由甲抽取的樣本數據可知，投籃成績優秀的有7人，投籃成績不優秀的有5人．
X的所有可能取值為．                    1分
所以，，．4分
故的分布列為
                                                      5分
∴．     6分
（Ⅱ）設投籃成績與性別無關，由乙抽取的樣本數據，得列聯表如下：

	優秀	非優秀	合計
男	6	1	7
女	1	4	5
合計	7	5	12

    7分
的觀測值3.841，           9分
所以有95%以上的把握認為投籃成績與性別有關．               10分
（Ⅲ）甲用的是系統抽樣，乙用的是分層抽樣．          11分
由（Ⅱ）的結論知，投籃成績與性別有關，并且從樣本數據能看出投籃成績與性別有明顯差異，因此采用分層抽樣方法比系統抽樣方法更優．         13分