Question

已知橢圓，
（1）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程。
（2）過A（2，1）的直線L與橢圓相交，求L被截得的弦的中點軌跡方程；
（3）過點P（0.5,0.5）且被P點平分的弦所在直線的方程。

Answer 1

（1）y=；
（2）(去除包含在橢圓內部的部分)；
（3）2x+4y-3=0。

(1)設這些平行弦的方程為y=2x+m,弦的中點為M(x,y).
聯立直線方程和橢圓方程:y=2x+m,消去y得,
,
因此=-,.
M的坐標是:x=,y=2x+m,,消去m得:y=.
(2)設弦的端點為P(),Q(),其中點是M(x,y).

因此:=,
化簡得:(去除包含在橢圓內部的部分).
(3)由(2)可得弦所在直線的斜率為k==,因此所求直線方程是:
y-=-(x-),化簡得:2x+4y-3=0.