Question

【題目】已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A,B始終滿足∠AFB=60°,過弦AB的中點(diǎn)H作拋物線的準(zhǔn)線的垂線HN,垂足為N,則的取值范圍為

A.(0,]B.[,+∞)

C.[1,+∞)D.(0,1]

Answer 1

【答案】D

【解析】

過A，B分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線AQ，BP，垂足分別為Q，P．設(shè)|AF|=a，|BF|=b，根據(jù)拋物線的定義得到|HN|=，在中，由余弦定理得，于是得到的表達(dá)式，然后根據(jù)基本不等式可得所求的范圍．

過A，B分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線AQ，BP，垂足分別為Q，P．

設(shè)|AF|=a，|BF|=b，

則由拋物線的定義得|AQ|=a，|BP|=b，

所以|HN|=．

在中，由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcos 60°=a2+b2-ab，

所以，

因?yàn)?/span>a+b≥2，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，

故的取值范圍為(0,1]．

故選D．