Question

已知函數f（x）=

4x+1

2x

和函數g（x）=2^x-2^-x．
（1）判斷h（x）=

f(x)

g(x)

的奇偶性，并求其單調區間；
（2）若函數h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函數，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由題意h（x）=

f(x)

g(x)

=

4x+1 2x

2x-2-x

=

4x+1

4x-1

，代入檢驗h（-x）與h（x）的關系即可判斷函數的奇偶性；
（2）由函數h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函數，可得h′（x）≥0恒成立，整理可得λ≥1-

2

1+ 1 4x

恒成立，從而可求λ的范圍．

解答： 解：（1）h（x）=

f(x)

g(x)

=

4x+1 2x

2x-2-x

=

4x+1

4x-1

，
∴h（-x）=

4-x+1

4-x-1

=

1+4x

1-4x

=-h（x）
∴函數h（x）為奇函數；
∵h（x）=

4x+1

4-x-1

=1+

2

4x-1

，∵4^x是增函數，
∴h（x）=1+

2

4x-1

是減函數，
∴它的單調增區間為（-∞，0）和（0，+∞）；
（2）∵函數h（x）=f（x）+λg（x）=（1+λ）2^x+（1-λ）2^-x是R上的增函數，
∴h′（x）≥0恒成立，
即（1+λ）2^xln2-（1-λ）2^-xln2≥0恒成立，
整理得λ≥1-

2

1+ 1 4x

恒成立
∴λ≥1．

點評：本題主要考查了函數奇偶性的判斷及理由定義證明、判斷函數的單調性，及函數單調性的定義的應用，屬于函數知識的綜合應用，具有一定的綜合性．