Question

【題目】△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，0），B（1，4），C（3，2），直線l經(jīng)過點(diǎn)D（0，4）．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）求△ABC外接圓M的方程；
（3）若直線l與圓M相交于P，Q兩點(diǎn)，且PQ=2 ，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)锳（1，0），B（1，4），C（3，2），所以kAC=1，kBC=﹣1，

所以CA⊥CB，又CA=CB=2 ，所以△ABC是等腰直角三角形

（2）解：由（1）可知，⊙M的圓心是AB的中點(diǎn)，所以M（1，2），半徑為2，

所以⊙M的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2=4

（3）解：因?yàn)閳A的半徑為2，當(dāng)直線截圓的弦長為2 時(shí)，

圓心到直線的距離為 =1．

①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，l方程為x=0，它與圓心M（1，2）的距離為1，滿足條件；

②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+4，因?yàn)閳A心到直線y=kx+4的距離為 =1，解得k=﹣ ，此時(shí)直線l的方程為3x+4y﹣16=0．

綜上可知，直線l的方程為x=0或3x+4y﹣16=0

【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)分別求得AC，BC的斜率判斷出兩直線垂直，進(jìn)而判斷出三角形為直角三角形．（2）先確定圓心，進(jìn)而利用兩點(diǎn)間的距離公式求得半徑，則圓的方程可得．（3）先看直線斜率不存在時(shí)判斷是否符合，進(jìn)而看斜率存在時(shí)設(shè)出直線的方程，利用圓心到直線的距離求得k，則直線的方程可得．