Question

【題目】如圖，已知直三棱柱的底面是直角三角形，．

Ⅰ求證：平面；

Ⅱ求二面角的余弦值；

Ⅲ求點到平面的距離．

Answer 1

【答案】Ⅰ證明見解析ⅡⅢ

【解析】

(Ⅰ)根據直三棱柱中可以為坐標原點建立空間直角坐標系,求解平面的法向量并證明即可.

(Ⅱ)分別求解ABD的一個法向量與平面的一個法向量,利用二面角的向量公式求解即可.

(Ⅲ)根據線面垂直的關系可得點到平面的距離為,再求解即可.

依題意,以C為原點,CB為x軸,為y軸,CA為z軸,建立空間直角坐標系,

則,

，,

Ⅰ證明：,

設平面的一個法向量為,則,

令,則,

,即,

平面；

Ⅱ,

設平面ABD的一個法向量為,則,

令,則,

又平面的一個法向量為,

,

即二面角的余弦值為；

Ⅲ設點到平面的距離為d,則易知,而,

點到平面的距離為．