Question

(本小題滿分15分)  如圖，在三棱錐中，，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，底面．

（1）求證：平面；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值；

（3）當(dāng)為何值時(shí)，在平面內(nèi)的射影恰好為的重心．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析。

（2）

（3）

【解析】（1）證明：平面，．

以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則．

設(shè)，則．

為的中點(diǎn)，．

，．

，平面．

（2），即，，

可求得平面的法向量．

．

設(shè)與平面所成的角為，

則．

與平面所成的角的正弦值為．

（3）的重心，，平面，．又，．．

，即．反之，當(dāng)時(shí)，三棱錐為正三棱錐．

在平面內(nèi)的射影為的重心．