Question

已知f（x）是二次函數，不等式f（x）＜0的解集為（0，5），且在區間[-1，4]上的最大值為12，
（1）求f（x）的解析式；
（2）解關于x的不等式：

2x2+(m-10)x+5

f(x)

＞1(m＜0)．

Answer 1

分析：（1）由不等式解集的形式判斷出0，5是f（x）=0的兩個根，利用二次函數的兩根式設出f（x），求出f（x）在[-1，4]上的最大值，列出方程求出f（x）．
（2）將分式不等式轉化為整式不等式，通過對兩個根-

5

m

，5的大小的討論寫出不等式的解集．

解答：解：

(1)由題設可設f(x)=ax(x-5)(a＞0)，在區間[-1，4]上的最大值為f(-1)=12， 得a=2，f(x)=2x2-10x(5分) (2)該不等式為 2x2+(m-10)x+5 2x2-10x ＞1(m＜0)，等價于x(x+ 5 m )(x-5)＜0(m＜0) 當m＜-1，x∈(-∞，0)∪(- 5 m ，5)；(7分) 當m=-1，x∈(-∞，0)；(9分) 當-1＜m＜0，x∈(-∞，0)∪(5，- 5 m )(11分) 綜上所述：不等式的解集情況為(以上三種情況)(12分)

m＜-1時，解集為(-∞，0)∪(-

5

m

，5)
當m=-1時，解集為（-∞，0）
當-1＜m＜0時，解集為(-∞，0)∪(5，-

5

m

)

點評：解決二次不等式時要注意不等式的解集與相應的方程的姐的關系；解決分式不等式時要等價轉化為整式不等式．