Question

已知點（1，

1

3

）是函數f（x）=a^x（a＞0），且a≠1）的圖象上一點，等比數列{a_n}的前n項和為f（n）-c．數列{b_n}（b_n＞0）的首項為c，且前n項和S_n滿足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）若數列{

1

bnbn+1

}前n項和為T_n，問T_n＞

1000

2009

的最小正整數n是多少？

Answer 1

分析：（1）先根據點（1，

1

3

）在f（x）=a^x上求出a的值，從而確定函數f（x）的解析式，再由等比數列{a_n}的前n項和為f（n）-c求出數列{a_n}的公比和首項，得到數列{a_n}的通項公式；由數列{b_n}的前n項和S_n滿足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

可得到數列{

Sn

}構成一個首項為1公差為1的等差數列，進而得到數列{

Sn

}的通項公式，再由b_n=S_n-S_n-1可確定{b_n}的通項公式．
（2）先表示出T_n再利用裂項法求得的表達式T_n，根據T_n＞

1000

2009

求得n．

解答：解：（1）由已知f（1）=a=

1

3

，∴f（x）=(

1

3

)x，等比數列{a_n}的前n項和為f（n）-c=(

1

3

)-nc，
∴a₁=f（1）=

1

3

-c，a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-

2

9

，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-

2

27

數列{a_n}是等比數列，應有

a2

a1

=

a3

a2

=q，解得c=1，q=

1

3

．
∴首項a₁=f（1）=

1

3

-c=-

2

3

∴等比數列{a_n}的通項公式為an=(-

2

3

) (

1

3

)n-1=-2(

1

3

)n．
（2）∵S_n-S_n-1=(

Sn

-

Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）
又b_n＞0，

Sn

＞0，∴

Sn

-

Sn-1

=1；
∴數列{

Sn

}構成一個首項為1，公差為1的等差數列，
∴

Sn

=1+（n-1）×1=n                
∴S_n=n²
 當n=1時，b₁=S₁=1，
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
又n=1時也適合上式，
∴{b_n}的通項公式b_n=2n-1．
（2）

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)×(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

由Tn＞

1000

2009

，得

n

2n+1

＞

1000

2009

，n＞

1000

9

，
故滿足Tn＞

1000

2009

的最小正整數為112．

點評：本題考查了求數列通項中的兩種題型：構造等差（等比）數列法，利用a_n，s_n的關系求解．以及裂項法數列求和．與函數、不等式相聯系，增加了綜合性．要求具有綜合分析問題，解決問題的能力．