Question

【題目】已知函數.

（1）討論的導函數的零點個數；

（2）當時，證明： .

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 當或時， 有一個零點；當時， 沒有零點；(Ⅱ)詳見解析．

【解析】試題分析：（1），所以當或時， 有一個零點；當時， 沒有零點；（2）時， 在單調遞增，在單調遞減，最大值，所以原題等價于，即，設，求導得到最大值為，即．

試題解析：

(Ⅰ) 的定義域為，

若，由， 沒有零點；

若或，由， ， ， 有一個零點；

若，由， ， 沒有零點．

綜上所述，當或時有一個零點；當時沒有零點．

(Ⅱ)由（1）知， ， 時

當時， ；當時， .

故在單調遞增，在單調遞減.

所以在取得最大值，

最大值，

即.

所以等價于，

即，其中．

設，則.

當時， ；當時， .

所以在單調遞增，在單調遞減.

故當時取得最大值，最大值為

所以當時， .

從而當時，

即．