Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x2－ax，g(x)＝lnx，h(x)＝f(x)＋g(x)．

(1)若函數(shù)y＝h(x)的單調(diào)減區(qū)間是，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若f(x)≥g(x)對(duì)于定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) a＝3.(2) (－∞，1]．

【解析】試題分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，已知單調(diào)性減區(qū)間，故1和是導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)變號(hào)根，h′(1)＝h′＝0，解得a＝3，這時(shí)只需檢驗(yàn)一下在x∈時(shí)導(dǎo)函數(shù)是否小于0即可；（2）原不等式轉(zhuǎn)化為a≤x－ (x>0)恒成立，研究φ(x)＝x－的單調(diào)性，求得該函數(shù)的最小值即可.

解析：

(1)由題意可知，h(x)＝x2－ax＋lnx(x>0)，

由h′(x)＝ (x>0)，

若h(x)的單調(diào)減區(qū)間是，

由h′(1)＝h′＝0，解得a＝3，

而當(dāng)a＝3時(shí)，h′(x)＝＝ (x>0)．

由h′(x)<0，解得x∈，

即h(x)的單調(diào)減區(qū)間是，

∴a＝3.

(2)由題意知x2－ax≥lnx(x>0)，

∴a≤x－ (x>0)．

令φ(x)＝x－ (x>0)，

則φ′(x)＝，

∵y＝x2＋lnx－1在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且x＝1時(shí)，y＝0.

∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，φ′(x)<0；

當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，φ′(x)>0，

即φ(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)，

∴φ(x)min＝φ(1)＝1，故a≤1.

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，1]．