Question

已知函數f（x）=b•a^x，（其中a，b為常數且a＞0，a≠1）的圖象經過點A（1，8），B（3，32）
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式(

1

a

)x+(

1

b

)x+1-2m≥0在x∈（-∞，1]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：其他不等式的解法,函數解析式的求解及常用方法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）把點A（1，8），B（3，32）代入函數f（x）=b•a^x，求得a、b的值，可得f（x）的解析式．
（2）不等式即 m≤

1

2

•[(

1

2

)x]2+

1

2

•(

1

2

)x+

1

2

，令t=(

1

2

)x，則 m≤

1

2

•t²+

1

2

t+

1

2

．利用二次函數的性質求得g（t）=

1

2

•t²+

1

2

t+

1

2

 的最小值，可得m的范圍．

解答： 解：（1）把點A（1，8），B（3，32）代入函數f（x）=b•a^x，可得

ab=8 b•a3=32

，求得

a=2 b=4

，∴f（x）=4•2^x．
（2）不等式(

1

a

)x+(

1

b

)x+1-2m≥0，即 m≤

1

2

•[(

1

2

)x]2+

1

2

•(

1

2

)x+

1

2

．
令t=(

1

2

)x，則 m≤

1

2

•t²+

1

2

t+

1

2

．
記g（t）=

1

2

•t²+

1

2

t+

1

2

=

1

2

•(t+

1

2

)2+

3

8

，由x∈（-∞，1]，可得t≥

1

2

．
故當t=

1

2

時，函數g（t）取得最小值為

7

8

．
由題意可得，m≤g（t）_min，∴m≤

7

8

．

點評：本題主要考查用待定系數法求函數的解析式，函數的恒成立問題，二次函數的性質應用，屬于基礎題．