Question

【題目】已知函數，其中.

（Ⅰ）當時，設.求函數的單調區間；

（Ⅱ）當，時，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調遞減區間為，單調遞增區間為.；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）當時，，求出導數，根據在上單調遞增，且，即可利用導數與單調性的關系求出；

（Ⅱ）當，時，即為，因為在上恒成立，即可證，不等式可變形為，構造函數，求出該函數在上的最小值大于等于零，即得證．

（Ⅰ）當時，，則.

∵在上單調遞增，且，

∴當時，；當時，.

∴的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

（Ⅱ）設，則.

令，解得.

∴當時，，即在上單調遞減；

當時，，即在上單調遞增.

∴.

∴在上恒成立.

現要證，只需證.

可證，即.

設，則．

令，解得.

∴當時，，即在上單調遞減；

當時，，即在上單調遞增.

∴.

∴在上恒成立.

綜上，可知，當時等號成立；，當時等號成立.

∴當，時，.