Question

設函數.
（1）求的單調區間和極值；
（2）若，當時，在區間內存在極值，求整數的值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）此問為導數的基礎題型，先求，令，求極值點，然后解與，列出的變化表格，從而很容易確定單調區間，以及極值;
（2）代入得到,先求,從無法確定函數的極值點，所以求其二階導數，令，   ，當時，恒成立，在為單調遞減函數，那么的值為極值點，因為是正整數，所以從開始判定符號，,,即為極值點的區間.
（1）令，解得，
根據的變化情況列出表格:

	(0,1)	1
	+	0	_
	遞增	極大值	遞減

 
由上表可知函數的單調增區間為（0,1），遞減區間為，
在處取得極大值，無極小值..            5分
（2）,,
令，   ，
因為恒成立，所以在為單調遞減函數，
因為
所以在區間上有零點 ,且函數在區間和上單調性相反，
因此，當時，在區間內存在極值.所以. 12分