Question

【題目】已知函數有兩個極值點.

（1）求的取值范圍；

（2）設，是的兩個極值點，證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）的定義域為，，設，則由題意得在內有兩個不等零點，利用導數性質求出，推導出在和內分別存在一個變號零點，由此能求出的取值范圍；

（2）的極值點，就是的零點，即，推導出，，設，，再求導，由此利用導數性質能證明，即．

解：（1）由，，得.

函數有兩個極值點等價于在上有兩個變號零點，

等價于在上有兩個變號零點.

令，則.

所以時，，單調遞增；

時，，單調遞減，所以.

當時，恒成立，在上單調遞減，不可能有兩個極值點，舍去；

當時，，，，，而，

由零點存在性定理得在和內分別存在一個變號零點，此時有兩個極值點.

綜上，所以求的取值范圍為.

（2）因為，是的兩個極值點，所以，且.

由（1）知，.

令，.

則，

由在恒成立，得時，，單調遞減.

又，所以時，，即.

所以，所以.

由（1）知在單調遞減，

所以，即.

所以，即，

因為，所以，所以.

即.