Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）對任意的，，，恒有，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)后得到，對分情況進行討論：、、、；

（2）由（1）知在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，從而把不等式中的絕對值去掉得：，進而構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，求得實數(shù)的取值范圍。

（1），

當時，，所以在上單調(diào)遞增；

當時，或，，所以在，上單調(diào)遞增；

，，所以在上單調(diào)遞減.

當時，或，，所以在，上單調(diào)遞增；

，，所以在上單調(diào)遞減.

當時，，，所以在上單調(diào)遞減；

，，所以在上單調(diào)遞增.

（2）因為，由（1）得，在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，

由得，

即.

令，

，只需恒成立，

即恒成立，

即，

即.因為（當且僅當時取等號），

所以實數(shù)的取值范圍是.