Question

【題目】如圖所示，在三棱臺中，和均為等邊三角形，四邊形為直角梯形，平面，，分別為的中點.

（1）求證:平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】分析：（1）取的中點，連接，要證平面，可轉證平面平面，即證平面，平面；

（2）先證明兩兩互相垂直，以為軸建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，利用公式即可求出二面角的余弦值.

詳解：（1）取的中點，連接，

則，

因為平面，平面，

所以平面，

因為三棱臺中，，

所以，

因為平面，平面，

所以平面，

因為，所以平面平面， 因為平面，所以平面.

（2）取的中點，連接，

因為平面，平面，

所以，

因為，

所以平面，所以，

因為為直角梯形，

，

所以為正方形，所以，

所以兩兩互相垂直，分別以為軸建立空間直角坐標系，

因為，

所以，

由，得，

所以，

設平面的一個法向量為，

由 得，

令，得，

設平面的一個法向量為，

由得

令，得，

所以

由圖觀察可知，平面與平面所成二面角為鈍角，所以其余弦值為.