Question

【題目】給定兩個七棱錐，它們有公共面的底面，頂點、在底面的兩則.現將下述線段中的每一條染紅、藍兩色之一:，底面上的所有對角線和所有的側棱.求證：圖中心存在一個同色三角形.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

先證明一個引理：

引理 若同側的7條側棱中有5條同色，則命題成立.

證明：在所述條件下，必有兩兩不相鄰的三條側棱，，同側，不妨設同為紅色，則在三條對角線，，中，若有一條是紅色，則有一個紅色三角形；若三條都為藍色，則本身即為單色三角形，引理得證.

現在回到原題.

不妨設.染紅色.考慮所有的有序對（的顏色，的顏色）（），其必為（紅，紅），（紅，藍），（藍，紅），（藍，藍）之一.

若某個為（紅，紅），則為單色三角形.

若無某個為（紅，紅），則由抽屜原則，存在，使得.分兩種情況：

（1）若它們為（紅，藍）或（藍，紅），則易出，，中必有兩點不相鄰（設為和）知，無論染何種顏色，圖中都有一個單色三角形.

（2）為了避免發生（1）的情況，只能（紅，藍）（藍，紅），于是由，引出異于的藍邊都為5條，由引理知命題成立.