Question

【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0）過點M（m，2），其焦點為F，且|MF|=2．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設E為y軸上異于原點的任意一點，過點E作不經過原點的兩條直線分別與拋物線C和圓F：（x﹣1）2+y2=1相切，切點分別為A，B，求證：直線AB過定點F（1，0）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）拋物線C的準線方程為： ，
∴ ，
又M在拋物線上，
即 ，
∴p2﹣4p+4=0，
解得p=2；
所以拋物線C的方程為y2=4x；
（Ⅱ）設點E（0，t）（t≠0），
由已知切線不為y軸，設EA：y=kx+t，
聯立 ，消去y，
可得k2x2+（2kt﹣4）x+t2=0；
直線EA與拋物線C相切，
∴△=（2kt﹣4）2﹣4k2t2=0，
即kt=1代入 ，
∴x=t2 ， 即A（t2 ， 2t）；
設切點B（x0 ， y0），則由幾何性質可以判斷點O，B關于直線EF：y=﹣tx+t對稱，
則 ，
解得： ，
即 ；
思路1：直線AB的斜率為 ，
直線AB的方程為 ，
整理 ，
∴直線AB過定點恒過定點F（1，0）；
當t=±1時，A（1，±2），B（1，±1），此時直線AB為x=1，過點F（1，0）；
綜上，直線AB過定點恒過定點F（1，0），
思路2：直線AF的斜率為 ，
直線BF的斜率為 ，
∴kAF=kBF ， 即A，B，F三點共線；
當t=±1時，A（1，±2），B（1，±1），此時A，B，F共線；
∴直線AB過定點F
【解析】（Ⅰ）根據拋物線的準線方程與M在拋物線上，列出方程組求出p的值即得拋物線方程；（Ⅱ）根據直線EA與圓錐曲線相切，用直線方程與圓錐曲線方程聯立，△=0，根據圓的對稱性，寫出直線AB的方程；
思路1：利用直線AB的斜率、直線AB的方程，判斷直線AB恒過定點；
思路2：根據三點共線以及直線的斜率，判斷直線AB過定點F．