Question

閱讀不等式5^x≥4^x+1的解法：
解：由5^x≥4^x+1，兩邊同除以5^x可得1≥(

4

5

)x+(

1

5

)x．
由于0＜

1

5

＜

4

5

＜1，顯然函數f（x）=（

4

5

）^x+（

1

5

）^x在R上為單調減函數，
而f(1)=

4

5

+

1

5

=1，故當x＞1時，有f（x）=（

4

5

）^x+（

1

5

）^x＜f（x）=1
所以不等式的解集為{x|x≥1}．
利用解此不等式的方法解決以下問題：
（1）解不等式：9^x＞5^x+4^x；
（2）證明：方程5^x+12^x=13^x有唯一解，并求出該解．

Answer 1

分析：（1）根據閱讀內容提供的方法，設f(x)=(

5

9

)x+(

4

9

)x，將不等式變形并利用f（x）的單調性和f（1）=1，即可求出原不等式的解集；
（2）方程的兩邊同除以13^x，得（

5

13

）^x+（

12

13

）^x=1，利用函數g(x)=(

5

13

)x+(

12

13

)x的單調性和g（2）=1，即可證出原方程有唯一解x=2．

解答：解：（1）由9^x＞5^x+4^x，兩邊同除以9^x可得1≥(

5

9

)x+(

4

9

)x．
∵0＜

4

9

＜

5

9

＜1，∴函數f(x)=(

5

9

)x+(

4

9

)x在R上為單調減函數，
∵f(1)=

4

9

+

5

9

=1，
∴當x＞1時，f（x）=(

5

9

)x+(

4

9

)x＜f（1）=1，
因此，原不等式的解集為{x|x＞1}．
（2）方程有唯一解x=2，證明如下：
將方程兩邊同除以13^x，可得（

5

13

）^x+（

12

13

）^x=1，
∵0＜

5

13

＜

12

13

＜1，可得函數g（x）=（

5

13

）^x+（

12

13

）^x在R上為單調減函數，
∵g(2)=(

5

13

)2+(

12

13

)2=1，
∴當x＞2時，g（x）=（

5

13

）^x+（

12

13

）^x＜g（2），即（

5

13

）^x+（

12

13

）^x＜1；
且當x＜2時，g（x）=（

5

13

）^x+（

12

13

）^x＞g（2），（

5

13

）^x+（

12

13

）^x＞1．
由此可得，有且僅有x=2能使等式成立，即x=2為方程5^x+12^x=13^x的唯一解．

點評：本題給出解關于x的指數方程的例題，要求我們根據該例題解關于x的指數方程和不等式．著重考查了指數函數的單調性和類比推理的一般方法等知識，屬于中檔題．