Question

如圖，某小區有一邊長為2（單位：百米）的正方形地塊OABC，其中OAE是一個游泳池，計劃在地塊OABC內修一條與池邊AE相切的直路（寬度不計），切點為M，并把該地塊分為兩部分．現以點O為坐標原點，以線段OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，若池邊AE滿足函數的圖象，且點M到邊OA距離為．

（1）當時，求直路所在的直線方程；
（2）當為何值時，地塊OABC在直路不含泳池那側的面積取到最大，最大值是多少？

Answer 1

（1）；（2）時，.

解析試題分析：（1）點M到邊OA距離為，則可設，當時，求切線的方程是一個常規問題，切線的斜率是處的導數，易求出直線的點斜式方程；（2）要求不含泳池一側的面積，就是要把這個面積表示為變量的函數，為此需要確定切線與線段的交點，當然也可能是與線段的交點，這作一個判斷或分類討論，面積函數解決后，用一般求最值的方法，則可解決問題.
試題解析：
（1）對函數求導得，，，又，所以切點，切線的方程為，即；
（2），過切點的切線
即，令得，故切線交于點；
令，得，又在遞減，所以
故切線與OC交于點。
地塊OABC在切線右上部分區域為直角梯形，
面積，當，。
考點：導數的應用、函數的最值.