Question

如圖,正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱長為1,E為A₁B₁的中點,則下列五個命題:

①點E到平面ABC₁D₁的距離為;

②直線BC與平面ABC₁D₁所成的角等于45°;

③空間四邊形ABCD₁在正方體六個面內的射影圍成的圖形中,面積最小的值為;

④BE與CD₁所成角為arcsin;

⑤二面角ABD₁C的大小為.

其中真命題是.(寫出所有真命題的序號)

Answer 1

答案：②③④  E到面ABC₁D₁的距離等于B₁到面ABC₁D₁的距離,即B₁到BC₁的距離為,

∴①不正確;BC與面ABC₁D₁所成的角,即∠CBC₁為45°,②正確;空間四邊形ABCD₁在面BCC₁B₁或在面ADD₁A₁中的射影面積最小,為正方形BCC₁B₁面積的一半,③正確;BE與CD₁所成的角,即為BA₁與BE所成角,即為∠A₁BE,

A₁E=,BE=,BA₁=,cos∠A₁BE=,sin∠A₁BE=,

∴④正確;

面ABD₁的法向量為=(1,0,1),面BCD₁的法向量為=(0,1,1),而與的夾角為60°,∴二面角ABD₁C的大小為π-=.∴⑤不正確.