Question

【題目】定義:如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都大于或等于2，則稱這個(gè)數(shù)列為“D數(shù)列”.

（1）若首項(xiàng)為1的等差數(shù)列的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且數(shù)列為“D數(shù)列”，其前n項(xiàng)和滿足()，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）已知等比數(shù)列的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且數(shù)列為“D數(shù)列”，，設(shè)()，試判斷數(shù)列是否為“D數(shù)列”，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）是，理由見解析

【解析】

(1) 設(shè)的公差為d,則，由每一項(xiàng)均為正整數(shù)，即 ，可求出.
(2).根據(jù)條件有，，，所以，在數(shù)列中，為最小項(xiàng)，由數(shù)列為“D數(shù)列”可知，只需，可求出，或，，然后再分別

判斷是否恒成立.

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，由，得.

由題意得，對均成立，

當(dāng)時(shí)，上式成立.當(dāng)時(shí)，，

又，∴，∴

∴等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，

∵數(shù)列的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且，

∴，且q為整數(shù)

∵.

∴在數(shù)列中，為最小項(xiàng)，由數(shù)列為“D數(shù)列”可知，只需.
即，又，即.

由數(shù)列的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，可得，∴，或，.①
當(dāng)，時(shí)，，則.

令()，

則

∴.

∴數(shù)列為遞增數(shù)列，即.又.
∴對任意的都有.

∴數(shù)列是“D數(shù)列”. ②
當(dāng)，時(shí)，，則.
令().

=
∴

∴數(shù)列為遞增數(shù)列，即.又.
∴對任意的都有，∴數(shù)列是“D數(shù)列”.綜上，數(shù)列是“D數(shù)列”