Question

【題目】已知函數與函數的圖象有兩個不同的公共點、.

（1）求實數的取值范圍；

（2）設點是線段的中點，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見詳解.

【解析】

（1）利用函數與方程的思想將問題轉化為函數的零點個數問題，然后構造函數利用分類討論的方法求解出參數的取值范圍；

（2）采用分析法證明，推導出證明即可，然后構造新函數，分析的單調性和值域即可完成證明.

（1）因為有兩個不同的交點，所以有兩個不同的根，

所以有兩個不同的根，所以有兩個不同的根，

設，則有兩個不同的零點，又，

當時，，所以僅有一個零點，不符題意；

當時，時，時，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，

且，當時，，

所以存在使得，存在使得，所以有兩個不同的零點，滿足題意；

當時，時，，令，則，

若時，，所以在上單調遞減，在上遞增，在上單調遞減，

又因為當時，，且，

所以當時，，故至多僅有一個零點，不符題意；

若時，，當時，當時，

所以在上單調遞減，所以至多僅有一個零點，不符合題意；

若，，所以在上單調遞減，在上遞增，在上單調遞減，

又因為當時，，且，

所以當時，，故至多僅有一個零點，不符題意.

綜上可知：；

（2）設的兩個零點為且，

因為在上單調遞減，在上單調遞增，所以，

要證，只需證，只需證，

又因為，所以且在上單調遞減且，

故只需證，只需證（*）；

設，

所以，

所以，

所以，

當時，，所以，

所以在上單調遞增，所以，

所以，所以（*）成立，

所以原不等式成立即成立.