Question

已知數列{a_n}及f_n(x)=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ, f_n(-1)=(-1)ⁿn,n=1,2,3,…,
（1）求 a₁, a₂, a₃的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）求證： ．

Answer 1

（1）1,3,5；（2）；（3）見解析.
解：（I）由已知，所以.     
，所以.
，所以.      
（II）因為，
所以.
即.
所以對于任意的， .         
（III），
所以.     ①
. ②
①-②，得
           

所以.           
又=1，2，3…，故< 1.         

本試題主要是考查了數列中歸納猜想的原理，意義運用函數關系求解數列的通項公式，并且運用錯位相減法求解數列的和的數學思想。