Question

（2009•南匯區二模）三位同學在研究函數f(x)=

x

1+|x|

（x∈R） 時，分別給出下面三個結論：
①函數f（x）的值域為 （-1，1）
②若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）
③若規定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，則fn(x)=

x

1+n|x|

對任意n∈N^*恒成立．
你認為上述三個結論中正確的個數有

3

．

Answer 1

分析：函數f(x)=

x

1+|x|

化為分段函數即函數f(x)=

x 1+x (x≥0) x 1-x (x＜0)

∵f（-x）=-f（x）∴函數f(x)=

x

1+|x|

為奇函數，從而判斷函數當x≥0時的性質即可，由值域和單調性可得①②正確，③的正確性可用數學歸納法證明

解答：解：函數f(x)=

x

1+|x|

化為分段函數即函數f(x)=

x 1+x (x≥0) x 1-x (x＜0)

∵f（-x）=-f（x）
∴函數f(x)=

x

1+|x|

為奇函數，
∵x≥0時，f（x）=

x

1+x

=1-

1

1+x

∈[0，1）
∴函數f（x）的值域為 （-1，1），故①正確
∵x≥0時，f（x）=

x

1+x

=1-

1

1+x

為[0，+∞）的單調增函數
∴函數f（x）為R上的單調增函數，
∴若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），故②正確
下面用數學歸納法證明③正確
證明：n=1時，命題顯然成立；
假設n=k時命題成立，即fk(x)=

x

1+k|x|

則n=k+1時，f_k+1（x）=f（f_k（x））=

fk(x)

1+k|fk(x)|

=

x 1+k|x|

1+k| x 1+k|x| |

=

x

1+(k+1)|x|

即n=k+1時命題成立
∴fn(x)=

x

1+n|x|

對任意n∈N^*恒成立
故答案為3

點評：本題考查了函數的值域的求法，函數單調性的定義及判斷方法，函數與數列的綜合，解題時要緊緊抓住函數的奇偶性解決問題