Question

【題目】設函數，

（1）當時，求函數圖象在處的切線方程；

（2）求的單調區間；

（3）若不等式對恒成立，求整數的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）單調遞增區間是，單調遞減區間是；（3）2

【解析】

（1）當時，可得，，求出，，即可求出切線方程；

（2）求出，求出極值點，利用導函數的符號，判斷函數的單調性即可；

（3）當時，不等式恒成立，即：恒成立，等價于當時，恒成立；即對恒成立，令，根據導數求其最值，即可求得答案.

（1）當時，

可得，

，

可得：，

所求切線方程為

（2）

.

令，則.

當時，；

當時，；

的單調遞增區間是，單調遞減區間是.

（3）當時，不等式恒成立

即：恒成立，

等價于當時，恒成立；

即對恒成立.

令，，

，

令，，

，

在上單調遞增.

又，，

在上有唯一零點，且，

在上單調遞減，在上單調遞增，

，

，

故整數的最大值為.