Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁和F₂，下頂點為A，直線AF₁與橢圓的另一個交點為B，△ABF₂的周長為8，直線AF₁被圓O：x²+y²=b²截得的弦長為3．
（I）求橢圓C的方程；
（II）若過點P（1，3）的動直線l與圓O相交于不同的兩點C，D，在線段CD上取一點Q滿足：

CP

=-λ

PD

，

CQ

=λ

QD

，λ≠0且λ≠±1．求證：點Q總在某定直線上．

Answer 1

分析：（I）利用△ABF₂的周長為8，可求a的值，確定直線AF₁的方程，利用直線AF₁被圓O：x²+y²=b²截得的弦長為3，即可確定幾何量，從而可得橢圓C的方程；
（II）設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），Q（x，y），利用

CP

=-λ

PD

，

CQ

=λ

QD

，λ≠0且λ≠±1，結合C、D在圓O上，即可證得結論．

解答：（I）解：∵△ABF₂的周長為8，∴4a=8，∴a=2
∵F₁（-c，0），A（0，-b），∴直線AF₁的方程為

x

-c

+

y

-b

=1，即bx+cy+bc=0
∵直線AF₁被圓O：x²+y²=b²截得的弦長為3，O到直線AF₁的距離d=

bc

b2+c2

=

bc

2

．
∴(

bc

2

)2+

9

4

=b2
∴b²c²+9=4b²
∵c²=4-b²，∴b²=3
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）證明：設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），Q（x，y），
∵

CP

=-λ

PD

，∴（1-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-1，y₂-3）
∴

1-x1=-λ(x2-1) 3-y1=-λ(y2-3)

，即

x1-λx2=1-λ(1) y1-λy2=3(1-λ)(2)

同理

x1+λx2=(1+λ)x(3) y1+λy2=(1+λ)y(4)

（1）×（3），得

x

2 1

-λ2

x

2 2

=（1-λ²）x（5）
（2）×（4），得

y

2 1

-λ2

y

2 2

=3（1-λ²）y（6）
（5）+（6），得

x

2 1

+

y

2 1

-λ2(

x

2 2

+

y

2 2

)=（1-λ²）（x+3y）
∵C，D在圓O上，∴

x

2 1

+

y

2 1

=3，

x

2 2

+

y

2 2

=3
∴3（1-λ²）=（1-λ²）（x+3y）
∵λ≠±1，∴x+3y=3
∴點Q總在定直線x+3y-3=0上．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查學生的探究能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．