Question

【題目】已知焦點在x軸上且長軸長為4的橢圓C過點T（1，1），記l為圓O：x2+y2=1的切線

（1）求橢圓C的方程；

（2）若l與橢圓C交于A、B兩點，求證：∠AOB為定值．

Answer 1

【答案】（1）=1．（2）見解析．

【解析】

（1）利用長軸長和橢圓上的點，構造方程求解出橢圓方程；（2）當直線斜率不存在時，求得坐標，可求得；當直線斜率存在時，將直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理表示出，整理化簡可得，可得；從而可知為定值.

（1）焦點在軸上且長軸長為的橢圓過點

設橢圓方程為

則，解得，

橢圓的方程為

（2）證明：為圓的切線

當的斜率不存在時，的方程為

又與橢圓交于兩點

則，或，

，或，

當直線存在斜率時，設的方程為：

則，即

聯立，得

由題意，設，

則，

綜上可知，為定值