Question

已知函數．
（Ⅰ）當時，求證：函數在上單調遞增；
（Ⅱ）若函數有三個零點，求的值．

Answer 1

（I）利用導數法求解單調區間即可證明；（II）t=2

試題分析：（I）f’(x)=a^xln^a+2x-ln^a=(a^x-1) ln^a +2x 
當a>1時，ln^a >0
當x∈（0，+∞）時，a^x-1>0,2x>0
∴f’(x)>0，∴f(x)在（0，+∞）↑
（II）當a>1時，x∈（-∞，0）時，a^x-1<0,2x<0
f’(x)<0，∴f(x)在（-∞，0）↓
當0<a<1時, x∈（0，+∞）時，ln^a <0, a^x-1<0,
f’(x)>0,f(x)在（0，+∞）↑
x ∈（-∞，0）時, a^x-1>0, ln^a <0
f’(x)<0, f(x)在（-∞，0）↓
∴當a>0且a≠1時，f(x) 在（-∞，0）↓,f(x)在（0，+∞）↑
∴x=0是f(x)在k上唯一極小值點，也是唯一最小值點.
f(x)_min=f(0)=1
若y=[f(x)-t]-1有三個零點，即|f(x)-t|=1，f(x)=t±1有三個根，所以t+1>t-1
∴t-1="f" (x)_min= 1，∴t=2
點評：導數本身是個解決問題的工具，是高考必考內容之一，高考往往結合函數甚至是實際問題考查導數的應用，求單調、最值、完成證明等，請注意歸納常規方法和常見注意點．