Question

已知函數和點，過點作曲線的兩條切線、，切點分別為、．

（1）求證：為關于的方程的兩根；

（2）設，求函數的表達式；

（3）在（2）的條件下，若在區間內總存在個實數（可以相同），使得不等式成立，求的最大值．

Answer 1

解：（1）由題意可知：

∵   ，   ……………………………2分

∴切線的方程為：，

又切線過點， 有，

即，  ①

同理，由切線也過點，得．②

由①、②，可得是方程（ * ）的兩根……………………………4分

（2）由（ * ）知．

       ，

       ∴ ．……………………………8分

（3）易知在區間上為增函數，

，

則．……………………10分

即，即，

所以，由于為正整數，所以．

又當時，存在，滿足條件，

所以的最大值為．      …………12分