Question

(2006北京朝陽模擬)已知函數，1＜m＜2．

(1)若f(x)在區間[－1，1]上的最大值為1，最小值為－2，求m、n的值；

(2)在(1)條件下，求經過點P（2，1）且與曲線f(x)相切的直線l的方程；

(3)設函數f(x)的導函數為g(x)，函數，試判斷函數F(x)的極值點個數，并求出相應實數m的范圍．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)∵， ∴由，得，． 又1＜m＜2，， ∴當時，，f(x)遞增；當時，，f(x)遞增減． ∴f(x)在區間[－1，1]上的最大值為f(0)=n，∴n=1． 又，，∴f(－1)＜f(1)． 由題意得f(－1)=－2，即，得．故，n=1為所求． (2)由(1)得， 易知點P(2，1)在曲線f(x)上． 又，∴當切點為P(2，1)時，切線l的斜率， 即4x－y－7=0． 當點P不是切點時，設切點為切線l的斜率， ∴l的方程為． 又點P(2，1)在l上，∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴．∴切線l的方程為y=1． 故所求切線l的方程為4x－y－7=0或y=1．(或者：由(1)知點A(0，1)為極大值點，所以曲線f(x)的點A處的切線為y=1，恰好經過點P(2，1)，符合題意．) (3)由已知得， ∴， ∴ ． ∵，二次函數的判別式為，整理，得． 又1＜m＜2， ∴當時，，此時，函數F(x)為單調遞增，極值點個數為0；當時，Δ＞0，此時方程有兩個相等的實數根，根據極值點的定義，可知函數F(x)有兩個極值點．