Question

函數是定義在R上的奇函數，當時，，則在上所有零點之和為            ．

Answer 1

8

試題分析：∵函數f（x）是定義在R上的奇函數，∴，又∵函數，∴∴函數g（x）是偶函數，∴函數的零點都是以相反數的形式成對出現的．∴函數在[-6，6]上所有的零點的和為0，∴函數在[-6，+∞）上所有的零點的和，即函數在（6，+∞）上所有的零點之和．由0＜x≤2時，，即∴函數在（0，2]上的值域為，當且僅當x=2時，=1；
又∵當x＞2時，
∴函數在（2，4]上的值域為，當且僅當x=４時，=；
函數在（４，６]上的值域為，當且僅當x=６時，=；
函數在（６，８]上的值域為，當且僅當x=８時，=；
函數在（８，10]上的值域為，當且僅當x=10時，=；
故在（8，10]上恒成立，
注意到的零點就是函數的圖象與曲線交點的橫坐標,
所以在（8，10]上無零點;
同理在（10，12]上無零點;
依此類推，函數在（8，+∞）無零點;
綜上函數在[-6，+∞）上的所有零點之和為8;故應填入:8.
如下圖: