Question

已知圓C的方程為x²+y²+2x-7=0，圓心C關于原點對稱的點為A，P是圓上任一點，線段AP的垂直平分線l交PC于點Q．
（1）當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡L的方程；
（2）過點B（1，）能否作出直線l₂，使l₂與軌跡L交于M、N兩點，且點B是線段MN的中點，若這樣的直線l₂存在，請求出它的方程和M、N兩點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點Q是線段AP的垂直平分線l與CP的交點，可得|QP|=QA|．又，可得．利用橢圓的定義可知點Q的軌跡L為橢圓；
（2）假設直線l₂存在，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），分別代入，利用“點差法”、中點坐標公式及斜率公式即可得出直線l₂的方程；與橢圓方程聯立即可解得交點坐標．
解答：解：（1）如圖，由已知圓C的方程x²+y²+2x-7=0，化為（x+1）²+y²=8，可得圓心C（-1，0），半徑，點A（1，0）．
∵點Q是線段AP的垂直平分線l與CP的交點，∴|QP|=QA|．
又∵，∴．
∴點Q的軌跡是以O為中心，C，A為焦點的橢圓，
∵，∴，
∴點Q的軌跡L的方程為．
（2）假設直線l₂存在，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），分別代入得，
兩式相減得，即．
由題意，得x₁+x₂=2，y₁+y₂=1，
∴，即k_MN=-1．
∴直線l₂的方程為．
由得6x²-12x+5=0．
∵點B在橢圓L內，
∴直線l₂的方程為，它與軌跡L存在兩個交點，
解方程6x²-12x+5=0得．
當時，；當時，．
所以，兩交點坐標分別為和．
點評：本題綜合考查了橢圓的定義、標準方程及其性質、“點差法”、中點坐標公式、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到一元二次方程等基礎知識，考查了推理能力、數形結合的思想方法、計算能力、分析問題和解決問題的能力．