Question

（本題滿分12分）
函數(shù)，其中為常數(shù)．
（1）證明：對(duì)任意，的圖象恒過(guò)定點(diǎn)；
（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)是否存在極值？若存在,求出極值；若不存在,說(shuō)明理由；
（3）若對(duì)任意時(shí)，恒為定義域上的增函數(shù)，求的最大值．

Answer 1

解：（1）令，得，且，
所以的圖象過(guò)定點(diǎn)；  
（2）當(dāng)時(shí)，， 
令，經(jīng)觀察得有根，下證明無(wú)其它根．
，當(dāng)時(shí)，，即在上是單調(diào)遞增函數(shù)．
所以有唯一根；且當(dāng)時(shí)，，在 上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)；
所以是的唯一極小值點(diǎn)．極小值是．
（3），令
由題設(shè)，對(duì)任意，有，，
又   
當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)；
所以當(dāng)時(shí)，有極小值，也是最小值，
又由得，得，即的最大值為．

解析